Starter i corolla

Jeg har en corolla fra 97. Jeg har haft problemer med at starte her i vinter. Har haft besøg af falck en gang, hvor han slog på starteren, og det hjalp. Det underlige er at jeg godt kan starte når bilen er varm. Jeg ved det ikke er batteriet der er problemet. Kan den være rustet fast, eller kan det være kulden?

Tak for svarene.
Jeg får skiftet min starter.